MATEMÁTICAS

DOCENTE:
Samuel Rodriguez Isaza

Durante el segundo periodo los temas que hemos visto han sido:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas. En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones. A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones. Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, este sistema tiene diferentes métodos los cuales son:

Método de reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo:

Paso 1-  Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación por 2, quedando 4x+2y= 28

Paso 2- Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común.

Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:

Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor, debemos remplazar en una de las ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este caso:

Por lo tanto la solución a nuestro sistema de ecuaciones es →  S: (5, 4)

En el siguiente vídeo se puede observar una explicación más concreta y mejor para la realización de ejercicios por el método de reducción: 

Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en otra ecuación.

Ejemplo:

Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros escogeremos despejar x en la segunda ecuación. Para ello, moveremos todos los términos que no sean x hacia el otro lado de la igualdad.

Conociendo el valor de x, sustituimos en la otra ecuación:

Una vez conocemos el valor de la otra incógnita (en este caso, y), sustituimos en la ecuación:

Solución: (20,14)

En el siguiente vídeo se puede observar una explicación más concreta y mejor para la realización de ejercicios por el método de sustitución: 

Método de igualación: Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda.

Ejemplo:

1°Debemos despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación. En este caso, nosotros optamos por despejar y.

2° Se igualan las expresiones obtenidas: y = y

3° Ahora, se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita:

Una vez identificado el valor de "x", remplazamos en cualquiera de las ecuaciones del sistema. 

Solución: (20,10) 

En el siguiente vídeo se puede observar una explicación más concreta y mejor para la realización de ejercicios por el método de igualación: 

Método gráfico: Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano es decir para un espacio de dimensión.  El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.  Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado". Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos.

Ejemplo:

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

Lo primero que hacemos es despejar la y

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

$$

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizaremos x=0 

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

En el siguiente vídeo se puede observar una explicación más concreta y mejor para la realización de ejercicios por el método gráfico: